Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，若{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）
• B． （-2，0）
• C． （0，2）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，作差a_n+1-a_n=$\frac{（2-{a}_{n}）（2+{a}_{n}）}{2{a}_{n}}$＜0，解得a_n＞2或-2＜a_n＜0，對(duì)t分類(lèi)討論即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2}$+$\frac{2}{{a}_{n}}$，∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{{a}_{n}}$-$\frac{{a}_{n}}{2}$=$\frac{（2-{a}_{n}）（2+{a}_{n}）}{2{a}_{n}}$＜0，解得a_n＞2或-2＜a_n＜0，
（1）a₁=t∈（-2，0）時(shí)，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{2}{{a}_{1}}$＜-2，歸納可得：a_n＜-2（n≥2）．
∴a₂-a₁＜0，但是a_n+1-a_n＞0（n≥2），不合題意，舍去．
（2）a₁=t＞2時(shí)，a₂=$\frac{{a}_{1}}{2}+\frac{2}{{a}_{1}}$＞2，歸納可得：a_n＞2（n≥2）．∴a_n+1-a_n＜0，符合題意．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)，考查了分類(lèi)討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．