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17.把離心率e=5+12的雙曲線x2a2y2b2=1a0b0稱為黃金雙曲線.給出以下幾個說法:
①雙曲線x2-2y251=1是黃金雙曲線; 
②若雙曲線上一點P(x,y)到兩條漸近線的距離積等于a3c,則該雙曲線是黃金雙曲線;   
③若F1,F(xiàn)2為左右焦點,A1,A2為左右頂點,B1(0,b),B2(0,-b)且∠F1B1A2=900,則該雙曲線是黃金雙曲線;  
④.若直線l經(jīng)過右焦點F2交雙曲線于M,N兩點,且MN⊥F1F2,∠MON=90°,則該雙曲線是黃金雙曲線;
其中正確命題的序號為②③④.

分析 ①求出雙曲線的離心率即可判斷命題正誤;
③通過點到直線的距離得出a,b,c的關(guān)系,求出雙曲線的離心率判斷正誤;
③通過∠F1B1A2=90°,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系,求出雙曲線的離心率判斷正誤;
④利用雙曲線的簡單性質(zhì)求出離心率,利用黃金雙曲線的定義判斷正誤.

解答 解:對于①,雙曲線x2-2y251=1中,c2=1+512=5+12,
∴c=5+12,∴離心率e=5+125+12,
∴該曲線不是黃金雙曲線,①錯誤;
對于②,雙曲線x2a2-y22=1上一點P(x0,y0)到兩條漸近線y=±\frac{a}x的距離積;
|bx0+ay0|a2+b2|bx0ay0|a2+b2=|b2x02a2y02|a2+b2=a3c,
a2b2c2=a3c,即b2=ac,
∴c2-a2-ac=0,化為e2-e-1=0,
又e>1,解得e=5+12,∴該雙曲線是黃金雙曲線,②正確;
對于③,∵∠F1B1A2=90°,∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2,
∴b2+c2+b2+a2=(a+c)2,化為c2-ac-a2=0,
由②知該雙曲線是黃金雙曲線,③正確;
對于④,如圖所示,MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴2a=c,∴b2=ac,
由②知該雙曲線是黃金雙曲線,④正確;
綜上,正確命題序號是②③④.
故答案為:②③④.

點評 本題考查雙曲線性質(zhì)的靈活運用問題,也考查了a,b,c的關(guān)系以及離心率的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習冊系列答案
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