分析 ①求出雙曲線的離心率即可判斷命題正誤;
③通過點到直線的距離得出a,b,c的關(guān)系,求出雙曲線的離心率判斷正誤;
③通過∠F1B1A2=90°,轉(zhuǎn)化為a,b,c的關(guān)系,求出雙曲線的離心率判斷正誤;
④利用雙曲線的簡單性質(zhì)求出離心率,利用黃金雙曲線的定義判斷正誤.
解答 解:對于①,雙曲線x2-2y2√5−1=1中,c2=1+√5−12=√5+12,
∴c=√√5+12,∴離心率e=√√5+12≠√5+12,
∴該曲線不是黃金雙曲線,①錯誤;
對于②,雙曲線x2a2-y22=1上一點P(x0,y0)到兩條漸近線y=±\frac{a}x的距離積;
∴|bx0+ay0|√a2+b2•|bx0−ay0|√a2+b2=|b2x02−a2y02|a2+b2=a3c,
∴a2b2c2=a3c,即b2=ac,
∴c2-a2-ac=0,化為e2-e-1=0,
又e>1,解得e=√5+12,∴該雙曲線是黃金雙曲線,②正確;
對于③,∵∠F1B1A2=90°,∴|B1F1|2+|B1A2|2=|F1A2|2,
∴b2+c2+b2+a2=(a+c)2,化為c2-ac-a2=0,
由②知該雙曲線是黃金雙曲線,③正確;
對于④,如圖所示,MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2,∠MON=90°,
∴NF2=OF2,∴2a=c,∴b2=ac,
由②知該雙曲線是黃金雙曲線,④正確;
綜上,正確命題序號是②③④.
故答案為:②③④.
點評 本題考查雙曲線性質(zhì)的靈活運用問題,也考查了a,b,c的關(guān)系以及離心率的應(yīng)用問題,是綜合性題目.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | (1,0) | B. | (-1,π) | C. | (1,π) | D. | (1,2π) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
x | -1 | 0 | 4 | 5 |
f(x) | 1 | 2 | 2 | 1 |
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A. | (√33,√33,-√33) | B. | (√33,-√33,√33) | C. | (-√33,√33,√33) | D. | (-√33,-√33,-√33) |
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A. | 6 | B. | 12 | C. | 16 | D. | 24 |
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