Question

4．已知函數(shù)f（x）定義域為[-1，5]，部分對應(yīng)值如表，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示．

x	-1	0	4	5
f（x）	1	2	2	1

下列關(guān)于函數(shù)f（x）的命題：
①函數(shù)f（x）的極大值點有2個；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
③若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，則t的最大值為4；
④當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點．
其中是真命題的是①②．（填寫序號）

Answer 1

分析 先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象，再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象，對四個命題，一一進(jìn)行驗證，對于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案．

解答 解：由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得，原函數(shù)的大致圖象如圖：
由圖得：∵f（x）的極大值點有2個，故①為真命題；
②為真命題．因為在[0，2]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；
由已知中y=f′（x）的圖象，及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時，函數(shù)取最大值2，
若x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值為5，即③錯誤；
④由于f（3）未知，故當(dāng)1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點，不正確．
故答案為①②．

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．二者之間的關(guān)系是：導(dǎo)函數(shù)為正，原函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，原函數(shù)遞減．