Question

18．如圖所示，在△ABC中，I為△ABC的內(nèi)心，AI交BC于D，交△ABC外接圓于E
求證：
（1）IE=EC
（2）IE²=ED•EA．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)心與角平分線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)即可得出．
（2）利用△ECD∽△EAC即可證明．

解答 證明：（1）連接IC，QI為內(nèi)心，
∴∠3=∠4，∠1=∠2．
∴∠1=∠5，∴∠5=∠2．
∴∠3+∠2=∠4+∠5．
∴∠EIC=∠ECI，
∴IE=CE．
（2）∵∠E=∠E，∠5=∠2．
∴△ECD∽△EAC，
∴$\frac{CE}{DE}=\frac{AE}{EC}$，
∴CE²=AE•DE．
∴IE²=ED•EA．

點(diǎn)評 本題考查了三角形內(nèi)心與角平分線的性質(zhì)、圓的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．