Question

9．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₀=110，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足${b_n}=\frac{1}{{（{{a_n}-1}）（{{a_n}+1}）}}$，若數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和T_n，證明${T_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件列出方程，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和即可．

解答 （Ⅰ）解：由題意知：$\left\{{\begin{array}{l}{a_2^2={a_1}{a_4}}\\{{S_{10}}=110}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{{{（{{a_1}+d}）}^2}={a_1}（{{a_1}+3d}）}\\{10{a_1}+45d=110}\end{array}}\right.$…（2分）
解a₁=d=2，故數(shù)列a_n=2n；…．（5分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）$，…（8分）
則${T_n}=\frac{1}{2}[{（{\frac{1}{1}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）＜\frac{1}{2}$…．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列求和，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．