Question

17．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為f′（x），當x＜0時，3f（x）+xf′（x）＜0恒成立，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． f（1）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜2017f（$\root{3}{2017}$）
• B． 2017f（$\root{3}{2017}$）＜f（1）＜2016f（$\root{3}{2016}$）
• C． 2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）＜2017f（$\root{3}{2017}$）
• D． 2017f（$\root{3}{2017}$）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x³f（x），分析可得g（x）為奇函數(shù)，對g（x）求導可得g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，結(jié)合題意分析可得當x＜0時，g′（x）＜0，則g（x）為減函數(shù)，又由函數(shù)的奇偶性分析可得g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，進而有g(shù)（1）=1³×f（1）=f（1），g（2016）=2016f（$\root{3}{2016}$），g（2017）=2017f（$\root{3}{2017}$），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設g（x）=x³f（x），
則有g(shù)（-x）=（-x）³f（-x）=-x³f（x）=-g（x），則g（x）為奇函數(shù)，
g′（x）=3x²f（x）+x³f′（x）=x²[3f（x）+xf′（x）]，
又由當x＜0時，3f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
則當x＜0時，g′（x）＜0，則g（x）為減函數(shù)，
又由函數(shù)g（x）為奇函數(shù)，則g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，
g（1）=1³×f（1）=f（1），g（2016）=2016f（$\root{3}{2016}$），g（2017）=2017f（$\root{3}{2017}$），
則有g(shù)（1）＞g（2016）＞g（2017），
即2017f（$\root{3}{2017}$）＜2016f（$\root{3}{2016}$）＜f（1）；
故選：D．

點評 本題考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系，關鍵是構(gòu)造函數(shù)g（x），并分析函數(shù)g（x）的單調(diào)性．