Question

14．在直角坐標系中，以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立坐標系，直線l的極坐標方程為$ρcos（{θ+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=5+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）求直線l的直角坐標方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）曲線C交x軸于A、B兩點，且點x_A＜x_B，P為直線l上的動點，求△PAB周長的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出直線的直角坐標方程即可，平方消去θ，求出C的直角坐標方程即可；
（Ⅱ）分別求出A、B的坐標，結(jié)合對稱性得到關(guān)于a，b的方程組，求出M的坐標，從而求出△PAB周長的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由直線l的極坐標方程，得$ρcosθsin\frac{π}{4}-ρsinθcos\frac{π}{4}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
即ρcosθ-ρsinθ=1，直線l的直角坐標方程為x-y=1，…（3分）
由曲線C的參數(shù)方程得C得普通方程為（x-5）²+y²=1…．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知曲線C表示圓心（5，0），半徑r=1的圓，
令y=0得x=4或x=6，
故A的坐標為（4，0），B的坐標為（6，0）…（6分）
設(shè)A關(guān)于直線l的對稱點為M（a，b），
則有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}-\frac{a+4}{2}+1=0}\\{\frac{a-4}=-1}\end{array}}\right.$解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}}\right.$，即點M（1，3）…．…．（8分）
由題易知當P為MB與直線l的交點時△PAB周長最小，最小值為$2+\sqrt{34}$．…（10分）

點評 本題考查了極坐標，參數(shù)方程以及直角坐標方程的轉(zhuǎn)化，考查對稱關(guān)系，是一道中檔題．