Question

9．方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$化簡的結(jié)果是（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$
• B． $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$（x≤-2）
• D． $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1$（y$≤-\sqrt{5}$）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析根式$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$和$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$的幾何意義，可得方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$表示|PF₂|-|PF₁|=4的點(diǎn)的軌跡，由雙曲線的定義分析可得P的軌跡是以F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）為焦點(diǎn)，且2a=4的雙曲線的左支，結(jié)合題意求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，根式$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（3，0）之間的距離，
根式$\sqrt{（x+3）^{2}+{y}^{2}}$表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（-3，0）之間的距離，
設(shè)P（x，y），F(xiàn)₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），則|F₁F₂|=6，
則方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$表示|PF₂|-|PF₁|=4的點(diǎn)的軌跡，
則P的軌跡是以F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0）為焦點(diǎn)，且2a=4的雙曲線的左支，
其中b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=5，
則其方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≤-2）；
即方程$\sqrt{{{（{x-3}）}^2}+{y^2}}-\sqrt{{{（{x+3}）}^2}+{y^2}}=4$化簡的結(jié)果為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1（x≤-2）；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，關(guān)鍵是分析題目中根式的意義，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行分析．