Question

20．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}$x²+ax-2lnx（a∈R）．
（1）若a=1，求函數f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若函數f（x）在區(qū)間（0，2]上單調遞減，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間和極值即可；
（2）問題轉化為$a≤\frac{2}{x}-x$在區(qū)間（0，2]上恒成立，設$g（x）=\frac{2}{x}-x$，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+ax-2lnx$．
當a=1時，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+x-2lnx$，定義域為（0，+∞）．
其導函數為$f'（x）=x+1-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+x-2}}{x}=\frac{（x+2）（x-1）}{x}$
令f'（x）＞0可得：x＞1；
令f'（x）＜0可得：0＜x＜1．
故函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1），
f（x）的極小值為$f（1）=\frac{3}{2}$，無極大值．
（2）f（x）的導函數為$f'（x）=x+a-\frac{2}{x}=\frac{{{x^2}+ax-2}}{x}$，
由函數f（x）在區(qū)間（0，2]上為減函數可得：
f'（x）≤0即x²+ax-2≤0在區(qū)間（0，2]上恒成立，
即$a≤\frac{2}{x}-x$在區(qū)間（0，2]上恒成立，
設$g（x）=\frac{2}{x}-x$，可知y=g（x）在（0，2]上單調遞減，
所以a≤g_min（x）=g（2）=-1．
故所求實數a的取值范圍為（-∞，-1]．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及函數恒成立問題，是一道中檔題．