9.袋中共有6個球,其中有2個白球,4個黑球,這些球除顏色外完全相同.從袋中隨機取出一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,并且另補一個白球放入袋中.重復上述過程n次后,袋中白球的個數(shù)記為xn
(1)求隨機變量x2的概率分布列及數(shù)學期望E(x2);
(2)求隨機變量xn的數(shù)學期望E(xn)關于n的表達式.

分析 (1)依題意可得:X2的取值為2,3,4求出概率得到分布列,然后求解期望即可.
(2)設P(Xn=2+k)=Pk,k=0,1,2,3,4.P0+P1+P2+P3+P4=1,得到E(Xn)=2P0+3P1+4P2+5P3+6P4,推出$E({X_{n+1}})-6=\frac{5}{6}(E({X_n})-6)$,然后求解得到$E({X_n})=6-\frac{10}{3}×{({\frac{5}{6}})^{n-1}}$.

解答 解:(1)依題意可得:X2的取值為2,3,4.----------------------------------------(1分)
當X2=2時,即兩次摸球均摸到白球,其概率為$P({X_2}=2)=\frac{C_2^1}{C_6^1}×\frac{C_2^1}{C_6^1}=\frac{1}{9}$;------------(2分)
當X2=3時,即兩次摸球恰好摸到一白,一黑,其概率為$P({X_2}=3)=\frac{C_2^1}{C_6^1}\frac{C_4^1}{C_6^1}+\frac{C_4^1}{C_6^1}\frac{C_3^1}{C_6^1}=\frac{5}{9}$----(3分)
當X2=4時,即兩次摸球均摸到黑球,其概率是P(X2=4)=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{1}}×\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{3}$.---------------(4分)
所以隨機變量X2的分布列如下表:

X2234
P$\frac{1}{9}$$\frac{5}{9}$$\frac{1}{3}$
-數(shù)學期望$E({X_2})=2×\frac{1}{9}+3×\frac{5}{9}+4×\frac{1}{3}=\frac{29}{9}$.-----------------------------------------(6分)
(2)設P(Xn=2+k)=Pk,k=0,1,2,3,4.
則P0+P1+P2+P3+P4=1,
E(Xn)=2P0+3P1+4P2+5P3+6P4.---------------------------------------(7分)
$P({X_{n+1}}=2)=\frac{2}{6}{P_0}=\frac{1}{3}{P_0}$;       
 $P({X_{n+1}}=3)=\frac{4}{6}{P_0}+\frac{3}{6}{P_1}=\frac{2}{3}{P_0}+\frac{1}{2}{P_1}$;
$P({X_{n+1}}=4)=\frac{3}{6}{P_1}+\frac{4}{6}{P_2}=\frac{1}{2}{P_1}+\frac{2}{3}{P_2}$;
$P({X_{n+1}}=5)=\frac{2}{6}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3}=\frac{1}{3}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3}$;
$P({X_{n+1}}=6)=\frac{1}{6}{P_3}+\frac{6}{6}{P_4}=\frac{1}{6}{P_3}+{P_4}$;--------10分
$E({X_{n+1}})=2×\frac{2}{6}{P_0}+3×(\frac{4}{6}{P_0}+\frac{3}{6}{P_1})+4×(\frac{3}{6}{P_1}+\frac{4}{6}{P_2})+5×(\frac{2}{6}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3})+6×(\frac{1}{6}{P_3}+\frac{6}{6}{P_4})$
=$\frac{16}{6}{P}_{0}+\frac{21}{6}{P}_{1}+\frac{26}{6}{P}_{2}+\frac{31}{6}{P}_{3}+\frac{36}{6}{P}_{4}$
=$\frac{5}{6}$×(2P0+3P1+4P2+5P3+6P4)+(P0+P1+P2+P3+P4
=$\frac{5}{6}E({X}_{n})+1$.
由此可知,$E({X_{n+1}})-6=\frac{5}{6}(E({X_n})-6)$,
又$E({X_1})-6=\frac{8}{3}-6=-\frac{10}{3}$,
所以$E({X_n})=6-\frac{10}{3}×{({\frac{5}{6}})^{n-1}}$--------(12分)

點評 本題考查離散性隨機變量的分布列期望的求法,考查轉化思想以及計算能力.

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