Question

20．如圖所示，已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過點F垂直于x軸的直線與拋物線C相交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線及直線AB所圍成的三角形面積為4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設M，N是拋物線C上異于原點O的兩個動點，且滿足k_OM•k_ON=k_OA•k_OB，求△OMN面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出A，B坐標，利用導數(shù)解出切線方程，求出切線與x軸的交點，利用三角形的面積列方程解出p；
（2）計算k_OA•k_OB=-4，設出MN方程，求出MN與x軸的交點，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系計算|y_M-y_N|，得出△OMN面積S關(guān)于t的函數(shù)，解出函數(shù)的最值．

解答 解：（1）拋物線的焦點坐標為F（$\frac{p}{2}$，0），∴$A（\frac{p}{2}，p），B（\frac{p}{2}，-p）$，
由$y=\sqrt{2px}$，得$y'=\frac{p}{{\sqrt{2px}}}$，∴拋物線C在A處的切線斜率為1，
由拋物線C的對稱性，知拋物線C在B處的切線卸斜率為-1，
∴拋物線過A點的切線方程為y-p=x-$\frac{p}{2}$，令y=0得x=-$\frac{p}{2}$．
∴$\frac{1}{2}•2p•p=4$，解得p=2．
∴拋物線C的方程為y²=4x．
（2）k_OA=2，k_OB=-2，∴k_OA•k_OB=-4，
設$M（\frac{1}{4}y_1^2，{y_1}），N（\frac{1}{4}y_2^2，{y_2}）$，則${k_{OM}}•{k_{ON}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{\frac{1}{16}y_1^2•y_2^2}}=-4$，
∴y₁y₂=-4．
令直線MN的方程為x=ty+n，
聯(lián)立方程組$\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=ty+n}\end{array}}\right.$消去x得：y²-4ty-4n=0，
則y₁y₂=-4n，y₁+y₂=4t，
∵y₁y₂=-4，∴n=1．即直線MN過點（1，0）．
∴${S_{△OMN}}=\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}=\frac{1}{2}\sqrt{16{t^2}+16}=2\sqrt{{t^2}+1}$．
∵t²≥0，∴S_△OMN≥2．
綜上所示，△OMN面積的取值范圍是[2，+∞）．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．