Question

9．在△ABC中，給出下列5個命題：
①若A＜B，則sinA＜sinB；
②sinA＜sinB，則A＜B；
③若A＞B，則$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$；
④若A＜B，則cos²A＞cos²B；
⑤若A＜B，則tan$\frac{A}{2}$＜tan$\frac{B}{2}$；
其中正確命題的序號是①②④⑤．

Answer 1

分析 利用正弦定理、三角函數(shù)加法定理、倍角公式等知識求解．

解答 解：在△ABC中：
①∵$\frac{sinA}{a}$=$\frac{sinB}$，
∴當A＜B時，根據(jù)三角形內，大角對大邊，得a＜b，
∴sinA＜sinB，故①正確；
②∵$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$，
當sinA＜sinB時，則a＜b，根據(jù)三角形內，大邊對大角，
∴A＜B，故②正確；
③則$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$=$\frac{cos2A}{sin2A}$-$\frac{cos2B}{sin2B}$=$\frac{cos2Asin2B-cos2Bsin2A}{sin2Asin2B}$=$\frac{sin2（B-A）}{sin2Asin2B}$，
∵A＞B，
∴0＜A-B＜π，
∴sin（B-A）=-sin（A-B）＜0，
當0＜A≤$\frac{π}{2}$，0＜B≤$\frac{π}{2}$時，0＜2A≤π，0＜2B≤π，0≤A-B≤$\frac{π}{2}$，
sin2A＞0，sin2B＞0，cos（B-A）＞0
∴則$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＜0，∴$\frac{1}{tan2A}$＜$\frac{1}{tan2B}$；
當$\frac{π}{2}$＜A＜π，0＜B≤$\frac{π}{2}$時（A和B不可能同時在第二象限），π＜2A＜2π，0＜2B≤π，
∴sin2A＜0，sin2B＞0
當0≤A-B≤時，cos（B-A）＞0，
∴則$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＞0，∴$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$，
當$\frac{π}{2}$＜A-B≤π時，cos（B-A）＜0，
∴$\frac{1}{tan2A}$-$\frac{1}{tan2B}$＜0，∴$\frac{1}{tan2A}$＜$\frac{1}{tan2B}$；
則$\frac{1}{tan2A}$＞$\frac{1}{tan2B}$；，故③錯誤；
④cos²A-cos²B=$\frac{1}{2}$（2cos²A-2cos²B）
=$\frac{1}{2}$[（2cos²A-1）-（2cos²B-1）]
=（cos2A-cos2B）
=$\frac{1}{2}$×（-2）×sin（A+B）×sin（A-B）
=-sin（A+B）sin（A-B），
∵A＞B，∴0＜A-B＜π
∵0＜A+B＜π，∴sin（A+B）＞0，
∴cos²A-cos²B＜0，cos²A＜cos²B．故④正確；
⑤tan$\frac{A}{2}$-tan$\frac{B}{2}$=tan$\frac{A}{2}$-tan（-$\frac{B}{2}$）=$\frac{sin\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A}{2}cos（-\frac{B}{2}）}$，
∵0＜$\frac{B-A}{2}$＜$\frac{π}{2}$，0＜$\frac{B}{2}$≤$\frac{π}{2}$，
∴tan$\frac{A}{2}$-tan$\frac{B}{2}$＜0，
∴tan$\frac{A}{2}$＜tan$\frac{B}{2}$；
故⑤正確，
故正確命題的序號是：①②④⑤，
故答案為：①②④⑤

點評 本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，注意正弦定理、三角函數(shù)加法定理、倍角公式等知識的合理運用．