Question

16．已知等軸雙曲線C的一個焦點坐標是（$\sqrt{2}$，0），直線y=kx+b與雙曲線C恰有1個交點，以|k|，|b|，1為邊長的三角形的形狀是（　�。�

• A． 等腰三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰或直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出等軸雙曲線的方程，聯(lián)立直線和雙曲線，利用直線和雙曲線只有一個交點，得到k，b的關系，進行判斷即可．

解答 解：∵等軸雙曲線C的一個焦點坐標是（$\sqrt{2}$，0），
∴設等軸雙曲線為x²-y²=m，（m＞0），c=$\sqrt{2}$，
則標準方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{m}$=1，
則a²=b²=m，
則c²=a²+b²=2m=2，
則m=1，
則等軸雙曲線為x²-y²=1，
將y=kx+b代入x²-y²=1得（k²-1）x²+2kbx+1+b²=0，
當k²-1=0，即k=±1時，方程有一個解，滿足條件．
三角形的邊長為1，|b|，1，此時為等腰三角形，
當k²-1≠0時，若方程有一個解，則判別式△=0，
即4k²b²-4（k²-1）（1+b²）=0，
整理得1+b²=k²，
則三角形的邊長為|k|，|b|，1此時為直角三角形，
綜上三角形的形狀為等腰或直角三角形，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應用，根據(jù)條件求出等軸雙曲線的方程，結合直線和雙曲線的位置關系求出，k，b的關系是解決本題的關鍵．