Question

20．若不等式（a²+a）x²-ax+1＞0對任意實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，令f（x）=（a²+a）x²-ax+1，分析可得f（x）_min＞0；對二次項系數(shù)分2種情況討論：①、a²+a=0，②、a²+a≠0，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分析可得a的取值范圍，綜合即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，令f（x）=（a²+a）x²-ax+1，
若不等式（a²+a）x²-ax+1＞0對任意實數(shù)x都成立，則有函數(shù)f（x）_min＞0；
分2種情況討論：
①、a²+a=0，即a=0或-1時，
其中當(dāng)a=0時，f（x）=1，不等式為1＞0，恒成立，符合題意；
當(dāng)a=-1時，不等式為x+1＞0，不符合題意；
②、a²+a≠0，f（x）=（a²+a）x²-ax+1為二次函數(shù)；
若函數(shù)f（x）_min＞0，必有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+a＞0}\\{△={a}^{2}-4（{a}^{2}+a）＜0}\end{array}\right.$，解可得-$\frac{4}{3}$＜a＜-1；
綜合可得：實數(shù)a的取值范圍是{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}；
故答案為：{x|-$\frac{4}{3}$＜a＜-1或a=0}．

點評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及不等式的恒成立問題，注意要對二次項系數(shù)進行討論．