Question

6．若λ為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的方程$\sqrt{{x^2}-λ}+2\sqrt{{x^2}-1}=x$有實(shí)數(shù)解，則λ的取值范圍是[0，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 移項(xiàng)得$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，求出右側(cè)函數(shù)的單調(diào)性和值域，根據(jù)方程有解可判斷出解的范圍，利用函數(shù)圖象得出不等式從而得出λ的范圍．

解答 解：∵$\sqrt{{x^2}-λ}+2\sqrt{{x^2}-1}=x$，
∴$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
令f（x）=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$（x≥1或x≤-1），
顯然當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）＜0，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$無解，
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=1-$\frac{2x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}-1}-2x}{\sqrt{{x}^{2}-1}}$，
∵x²-1-4x²=-3x²-1＜0，
∴x²-1＜4x²，即$\sqrt{{x}^{2}-1}$＜2x，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
令f（x）=0得x=2$\sqrt{{x}^{2}-1}$，解得x=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
∴當(dāng)1≤x≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$時(shí)，f（x）≥0，當(dāng)x$＞\frac{2}{\sqrt{3}}$時(shí)，f（x）＜0，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$的解必在區(qū)間[1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$]上．
令g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$（1≤x≤$\frac{2}{\sqrt{3}}$），
（1）當(dāng)λ=0時(shí)，g（x）=x，∴g（1）=1，又f（1）=1，
∴x=1為方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$的解，符合題意；
（2）當(dāng)λ＜0時(shí)，g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$＞g（1）=$\sqrt{1-λ}$＞1，
而f（x）≤f（1）=1，
∴方程$\sqrt{{x}^{2}-λ}$=x-2$\sqrt{{x}^{2}-1}$無解，不符合題意；
（3）當(dāng)λ＞0，令y=g（x）=$\sqrt{{x}^{2}-λ}$，
則$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{λ}=1$，∴g（x）的圖象為等軸雙曲線右支在第一象限內(nèi)的部分（含右頂點(diǎn)），
雙曲線的右頂點(diǎn)為（$\sqrt{λ}$，0），
做出f（x）和g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程g（x）=f（x）在[1，$\frac{2}{\sqrt{3}}$]上有解，∴0＜$\sqrt{λ}$$≤\frac{2}{\sqrt{3}}$，
即0＜λ≤$\frac{4}{3}$．
綜上，0≤λ≤$\frac{4}{3}$．
故答案為：$[{0，\frac{4}{3}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷，函數(shù)零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，分類討論思想，屬于中檔題．