Question

7．如圖所示，∠BAC=$\frac{2π}{3}$，圓M與AB，AC分別相切于點D，E，AD=1，點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AD}$+y$\overrightarrow{AE}$（x，y∈R），則x+y的取值范圍是[4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 連接MA，MD，求出圓M的半徑MD和MA，得出AP的最值，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可得出x+y的最值．

解答 解：連接MA，MD，則∠MAD=$\frac{π}{3}$，MD⊥AD，
∵AD=1，∴MD=$\sqrt{3}$，MA=2，
∵點P是圓M及其內(nèi)部任意一點，
∴2-$\sqrt{3}$≤AP≤2+$\sqrt{3}$，且當(dāng)A，P，M三點共線時，x+y取得最值，
當(dāng)AP取得最大值時，以AP為對角線，
以AB，AC為鄰邊方向作平行四邊形AA₁PB₁，
則△APB₁和△APA₁是等邊三角形，
∴AB₁=AA₁=AP=2+$\sqrt{3}$，
∴x=y=2+$\sqrt{3}$，
∴x+y的最大值為4+2$\sqrt{3}$，
同理可求出x+y的最小值為4-2$\sqrt{3}$．
故答案為：[4-2$\sqrt{3}$，4+2$\sqrt{3}$]．

點評 本題考查了平面向量的幾何運算，屬于中檔題．