Question

3．在銳角三角形ABC中，$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{-ac}=\frac{cos（A+C）}{sinAcosA}$．
（1）求角A；
（2）若$a=\sqrt{3}$，當$sinB+cos（C-\frac{7π}{12}）$取得最大值時，求B和b．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理化簡已知可得$\frac{-2accosB}{ac}=\frac{-cosB}{sinAcosA}$，由cosB＞0，可求sin2A=1，進而可求A的值．
（2）由（1）知，$B+C=\frac{3π}{4}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡可求$sinB+cos（C-\frac{7π}{12}）$=$\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，可求范圍$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，進而可得$\frac{5π}{12}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求B，進而利用正弦定理可求b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由余弦定理可得$\frac{-2accosB}{ac}=\frac{-cosB}{sinAcosA}$，
因為△ABC是銳角三角形，
所以cosB＞0，
所以sin2A=1，
所以$2A=\frac{π}{2}$，
所以$A=\frac{π}{4}$．…（5分）
（2）由（1）知，$B+C=\frac{3π}{4}$，所以$sinB+cos（C-\frac{7π}{12}）=sinB+cos（B-\frac{π}{6}）$=$sinB+cosBcos\frac{π}{6}+sinBsin\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}sinB+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosB$=$\sqrt{3}sin（B+\frac{π}{6}）$，…（7分）
因為$0＜\frac{3π}{4}-B＜\frac{π}{2}$，$0＜B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{π}{4}＜B＜\frac{π}{2}$，
所以$\frac{5π}{12}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{2π}{3}$，
所以$B+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$B=\frac{π}{3}$時，$sinB+cos（C-\frac{7π}{12}）$取得最大值$\sqrt{3}$，…（10分）
此時，由正弦定理可得$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{3\sqrt{2}}}{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．