Question

15．求函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$的值域．

Answer 1

分析 本題可以利用$\sqrt{x-1}$與$\sqrt{5-x}$的平方和為定值，采用換元法，將原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，對三角函數(shù)式進行變形化簡后，求出三角函數(shù)的值域，得到本題結(jié)論．

解答 解：∵（$\sqrt{x-1}$）²+（$\sqrt{5-x}$）²=x-1+5-x=4，
∴可設(shè)$\sqrt{x-1}$=2cosα，$\sqrt{5-x}$=2sinα，α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴y=2cosα+2sinα
=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα）
=2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）．
∵0≤α≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤α+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3}{4}$π，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin（α+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴2≤2$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）≤2$\sqrt{2}$，
即函數(shù)y=$\sqrt{x-1}$+$\sqrt{5-x}$的值域為[2，2$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了三角代換法求函數(shù)值域，本題也可以利用平方法和基本不等式研究函數(shù)值域，本題方法靈活，難度不大，屬于中檔題．