Question

6．如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SBC⊥平面ABC，SB=SC=AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O為BC中點．
（1）證明：SO⊥平面ABC
（2）求點B到平面SAC的距離；
（3）求二面角A-SC-B的平面角的余弦值．
（友情提示：若建左手系不得分）

Answer 1

分析 （1）由SO⊥BC及平面平面SBC⊥平面ABC，得到平面SBC∩平面ABC=BC，即可得到SO⊥平面ABC，
（2）以O(shè)B、OA、OS為x，y，z軸建立直角坐標系，用坐標表示點與向量，求得平面SAC的法向量$\overrightarrow{n}$，而，從而可求點B到平面SAC的距離d=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}|}$|．
（3）由平面SBC的法向量和平面SAC的法向量，可得二面角A-SC-B的余弦值．

解答 解：（1）因為SB=SC，O為BC中點，所以SO⊥BC
而平面平面SBC⊥平面ABC，平面SBC∩平面ABC=BC，所以SO⊥平面ABC，
（2）如圖以O(shè)B、OA、OS為x，y，z軸建立直角坐標系，得
B（$\sqrt{2}$，0，0），A（0，$\sqrt{2}$，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），C（-$\sqrt{2}$，0，0），
$\overrightarrow{SA}=（0，\sqrt{2}，-\sqrt{2}）$，$\overrightarrow{SC}=（-\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$．
設(shè)平面SAC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SA}=\sqrt{2}y-\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-\sqrt{2}x-\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，可取$\overrightarrow{n}=（-1，1，1）$．
$\overrightarrow{SB}=（\sqrt{2}，0，-\sqrt{2}）$，故點B到平面SAC的距離d=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}}{|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
（3）由已知得平面SBC的法向量$\overrightarrow{OA}$=（0，1，0），平面SAC的法向量$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
∵cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{OA}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OA}}{|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角A-SC-B的余弦值等于$\frac{\sqrt{3}}{3}$，

點評 本題考查點到面的距離，考查面面角，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，確定平面的法向量，屬于中檔題．