Question

是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

a的取值范圍為a>1或a<－

【解析】【解析】
令f(x)＝0，則Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝9(a－)2＋>0，即f(x)＝0有兩個不相等的實數(shù)根，

∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可．

f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，

∴a≤－或a≥1．

檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1，所以f(x)＝x2＋x．

令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1．

方程在[－1,3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠1．

當f(3)＝0時，a＝－，

此時f(x)＝x2－x－．

令f(x)＝0，即x2－x－＝0，

解得x＝－或x＝3．

方程在[－1,3]上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a≠－．

所以a的取值范圍為a>1或a<－．