Question

10．過點（-1，$\sqrt{3}$）且與直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的夾角為$\frac{π}{6}$的直線方程為x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．

Answer 1

分析 直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的斜率為$\sqrt{3}$，設(shè)所求直線的斜率為k，由過點（-1，$\sqrt{3}$）且與直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的夾角為$\frac{π}{6}$，得到tan$\frac{π}{6}$=|$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$|，由此能求出結(jié)果．

解答 解：直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的斜率為$\sqrt{3}$，設(shè)所求直線的斜率為k，
∵過點（-1，$\sqrt{3}$）且與直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的夾角為$\frac{π}{6}$，
∴tan$\frac{π}{6}$=|$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$|，
∴$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，或$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得3k-3$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}+3k$，k不存在，此時直線方程為x+1=0，
由$\frac{k-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}k}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，得 $\sqrt{3}+3-3+3\sqrt{3}$，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
此時直線方程為y-$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），即x-$\sqrt{3}y$+4=0．
∴過點（-1，$\sqrt{3}$）且與直線$\sqrt{3}$x-y+1=0的夾角為$\frac{π}{6}$的直線方程為x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．
故答案為：x+1=0或x-$\sqrt{3}y$+4=0．

點評 本題考查直線方程的求法，涉及到直線方程、斜率公式、夾角公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．