Question

5．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n+3n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）由S_n=2a_n-1（n∈N⁺），可得n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2a_n-1（n∈N⁺），∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-（2a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
n=1時(shí)，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1．
∴a_n=2^n-1．
（II）b_n=a_n+3n=2^n-1+3n，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+3×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ-1+$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．