Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=xe^x．     
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．
（3）若方程e^x=$\frac{a}{x}$有實數(shù)解，求實數(shù)a的范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出切點的坐標(biāo)，然后求出x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，利用點斜式方程即可求出切線方程．
（2）利用導(dǎo)數(shù)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）．可得f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，無極大值；
（3）方程e^x=$\frac{a}{x}$有實數(shù)解，等價于xe^x=a有實數(shù)解，即可求實數(shù)a的范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=xe^x
∴f′（x）=e^x+xe^x，∴f′（1）=2e，又f（1）=e，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-e=2e（x-1），
即2ex-y-e=0；
（2）令f′（x）=e^x+xe^x=0，得x=-1；
列表如下

x	（-∞，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，+∞）．
∴f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，無極大值；
（3）方程e^x=$\frac{a}{x}$有實數(shù)解，等價于xe^x=a有實數(shù)解，
∵f（x）_極小值=f（-1）=-$\frac{1}{e}$，∴$a≥-\frac{1}{e}$．

點評 本題主要考查了實際問題中導(dǎo)數(shù)的意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題．