Question

19．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，滿足acosB+bcosA=2ccosC．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積為2$\sqrt{3}$，求邊長(zhǎng)c的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化簡(jiǎn)可得sin（A+B）=2sinCcosC，從而求得cosC=$\frac{1}{2}$，從而解得；
（Ⅱ）由S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$知ab=8，從而可得c²≥2ab-2abcosC=8，從而解得．

解答 解：（Ⅰ）由正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，
∴sinC=2sinCcosC，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
故C=60°；
（Ⅱ）由已知S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab=2$\sqrt{3}$，
所以ab=8，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，
∴c²≥2ab-2abcosC，
∴c²≥8，
∴c≥2$\sqrt{2}$，（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）．
∴c的最小值為2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換及正弦定理與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．