Question

4．已知f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N*）的展開式中含x項的系數(shù)為20，求展開式中含x²項的系數(shù)的最小值．

Answer 1

分析 展開式中含x²項的系數(shù)是關于m，n的關系式，由展開式中含x項的系數(shù)為20，可得m+2n=20，從而轉化為關于m或n的二次函數(shù)求解．

解答 解：∵f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ展開式中含x的項為${C}_{m}^{1}$•x+${C}_{n}^{1}$•2x=（m+2n）x，
∵f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ（m，n∈N^*）的展開式中含x項的系數(shù)為20，
∴m+2n=20，
∴f（x）=（1+x）^m+（1+2x）ⁿ展開式中含x²的項的系數(shù)為t=${C}_{m}^{2}$+${C}_{n}^{2}$•2²=$\frac{1}{2}$（m²-m+4n²-4n），
∵m+2n=20，
∴m=20-2n，
∴t=$\frac{1}{2}$（（20-2n）²-20+2n+4n²-4n）=4n²-42n+190=4（n²-$\frac{21}{2}$n+$\frac{95}{2}$），
∴當n=$\frac{21}{4}$時，t取最小值，但n∈N^*，
∴n=5時t最小，即x²項的系數(shù)最小，最小值為80，此時n=5，m=10．

點評 本題考查二項式系數(shù)的性質，求得m+2n=20是解決問題的關鍵，考查二次函數(shù)的性質，考查配方法與分析、轉化與運算能力，屬于中檔題．