Question

9．已知曲線C：ρ=2cosθ，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
（1）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；
（2）過曲線C上任一點(diǎn)P作與l夾角為45°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）曲線C：ρ=2cosθ，化為普通方程，然后轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程，消去參數(shù)可得直線l的普通方程．
（2）（2）曲線C上任意一點(diǎn)P（1+cosθ，sinθ）到l的距離為d．則|PA|=$\fracnuehymo{sin45°}$，其中φ為銳角，且tan α=$\frac{3}{4}$．利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值．

解答 解：曲線C：ρ=2cosθ，可得ρ²=2ρcosθ，所以x²+y²=2x，
即：（x-1）²+y²=1，
曲線C的參數(shù)方程，$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，θ為參數(shù)．
直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2-t}\\{y=\frac{3}{2}+\frac{3}{4}t}\end{array}\right.$（t是參數(shù)）．
消去參數(shù)t，可得：3x+4y-12=0．
（2）曲線C上任意一點(diǎn)P（1+cosθ，sinθ）到l的距離為d=$\frac{1}{5}$|3cosθ+4sinθ-9|．
則|PA|=$\fracjasvvhy{sin45°}$=$\sqrt{2}$|sin（θ+φ）-$\frac{9}{5}$|，其中φ為銳角，且tan φ=$\frac{3}{4}$．
當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為$\frac{14\sqrt{2}}{5}$．
當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、點(diǎn)到直線的距離公式、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．