Question

10．某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響，在若干地區(qū)各投入4萬元廣告費用，并將各地的銷售收益（單位：萬元）繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．由于工作人員操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的．

廣告投入x/萬元	1	2	3	4	5
銷售收益y/萬元	2	3	2	5	7

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度；
（Ⅱ）該公司按照類似的研究方法，測得另外一些數(shù)據(jù)，并整理得到上表：表中的數(shù)據(jù)顯示x與y之間存在線性相關關系，求y關于x的回歸方程；
（Ⅲ）若廣告投入6萬元時，實際銷售收益為7.3萬元，求殘差$\hat e$．
附：${\;}_^{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）{（y}_{i}{-}_{y}^{-}）}{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}{-}_{x}^{-}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}y}_{i}-{{n}_{x}^{-}}_{y}^{-}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-{{n}_{x}^{-}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用頻率和為1列方程求出a的值；
（Ⅱ）計算平均數(shù)與回歸系數(shù)，寫出線性回歸方程；
（Ⅲ）計算x=6時銷售收益預測值，再求出殘差值．

解答 解：（Ⅰ）設各小長方形的寬度為a，由頻率直方圖各小長方形的面積總和為1，
可知（0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02）•a=0.5a=1，
解得a=2；…（2分）
（Ⅱ）由題意，可知
$\overline{x}=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3，\overline{y}=\frac{2+3+2+5+7}{5}=3.8$，
$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}=1×2+2}×3+3×2+4×5+5×7=69，\sum_{i=1}^5{x_i^2={1^2}+{2^2}}+{3^2}+{4^2}+{5^2}=55$，…（5分）
根據(jù)公式，可求得$\hat b=\frac{69-5×3×3.8}{{55-5×{3^2}}}=\frac{12}{10}=1.2，\hat a=3.8-1.2×3=0.2$，
所以y關于x的回歸方程為$\hat y=1.2x+0.2$；…（8分）
（Ⅲ）當x=6時，銷售收益預測值為$\hat y=1.2×6+0.2=7.4$（萬元），
又實際銷售收益為7.3萬元，
所以殘差$\hat e=7.3-7.4=-0.1$．…（12分）

點評 本題可惜了頻率分布直方圖與線性回歸方程和殘差的計算問題，是綜合題．