Question

20．某三棱錐的三視圖是三個邊長相等的正方形及對角線，若該三棱錐的體積是$\frac{1}{3}$，則它的表面積是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)三視圖得出該幾何體是正方體的內(nèi)接正三棱錐，畫出圖形求出三棱錐的棱長，
利用面積公式求出幾何體的表面積．

解答 解：如圖所示，
該幾何體是正方體的內(nèi)接正三棱錐；
設(shè)正方體的棱長為a，
則幾何體的體積是
V=a³-4×$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$a²•a=$\frac{1}{3}$a³=$\frac{1}{3}$，
∴a=1，
∴三棱錐的棱長為$\sqrt{2}$，
因此該三棱錐的表面積為
S=4×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×${（\sqrt{2}）}^{2}$=2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正方體的內(nèi)接正三棱錐表面積的計算問題，關(guān)鍵是根據(jù)三視圖得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征．