Question

19．經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路汽車的車流量y（千輛/h）與汽車的平均速度v（km/h）之間的函數(shù)關系式為$y=\frac{240v}{{{v^2}+20v+1600}}（{v＞0}）$．
（I）若要求在該段時間內(nèi)車流量超過2千輛/h，則汽車在平均速度應在什么范圍內(nèi)？
（II）在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？

Answer 1

分析 （I）由條件得$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$＞2，解不等式即可求出v的范圍．
（II）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知 y=$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$=$\frac{240}{v+\frac{1600}{v}+20}$，進而求得y的最大值．根據(jù)等號成立的條件求得此時的平均速度．

解答 解：（I）由條件得$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$＞2，
整理得到（v-20）（v-80）＜0，解得20＜v＜80．
（II）由題知，y=$\frac{240v}{{v}^{2}+20v+1600}$=$\frac{240}{v+\frac{1600}{v}+20}$≤2.4．
當且僅當v=$\frac{1600}{v}$即v=40時等號成立．
所以最大車流量為2.4千輛/h．

點評 本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．要特別留意等號取得的條件．