Question

如圖，拋物線y=-x²+9與x軸交于兩點A，B，點C，D在拋物線上（點C在第一象限），CD∥AB．記|CD|=2x，梯形ABCD面積為S．
（1）求面積S以x為自變量的函數(shù)式；
（2）若

|CD|

|AB|

=k其中k為常數(shù)，且0＜k＜1，求S的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的概念及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）首先根據(jù)二次函數(shù)的圖象確定C的坐標，和線段AB的長，然后根據(jù)梯形面積關系式確定有條件下的解析式．
（2）由（1）的解析式，符合高次函數(shù)的形式，然后利用導數(shù)來求函數(shù)的最值，中間涉及相關的分類討論和運算等知識．

解答： 解：（1）依題意，點C的橫坐標為x，點C的縱坐標為y_C=-x²+9，
點B的橫坐標x_B滿足方程--xB2+9=0⇒xB=3，-3(舍去)；
所以S 

1

2

(|CD|+|AB|)•yc=（2x+2×3）（-x²+9）=（x+3）（-x²+9）
由點C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S關于x的函數(shù)式為 S=（x+3）（-x²+9）（0＜x＜3）
（2）由 0＜x＜3.

x

3

≤k及0＜k＜1⇒0＜x＜3k，
記f（x）=（x+3）（-x²+9），0＜x≤3k，
則f'（x）=-3x²-6x+9=-3（x-1）（x+3），
令f'（x）=0，得x=1．      
①若1＜3k，即

1

3

＜k＜1f'（x）與f（x）的變化情況如下：

x	（0，1）	1	（1，3k）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

所以，當x=1時，f（x）取得最大值，且最大值為f（1）=32，
②若1≥3k，即0＜k≤

1

3

f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值為f（3k）=27（1+k）（1-k²），
綜上所述

1

3

＜k＜1時，S的最大值為32；

1

3

0＜k≤

1

3

；S的最大值為f（3k）=27（1+k）（1-k²）．
故答案為：（1）S關于x的函數(shù)式為 S=（x+3）（-x²+9）（0＜x＜3），
（2）當

1

3

＜k＜1時，S的最大值為32，
當

1

3

0＜k≤

1

3

，S的最大值為f（3k）=27（1+k）（1-k²）

點評：本題考查的知識點：二次函數(shù)的圖象及相關的性質，函數(shù)的解析式，利用導數(shù)求函數(shù)的最值及相關的運算問題和分類討論問題．