Question

3．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（3，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為1，則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

Answer 1

分析 運用三角形面積的等積法，兩次求得△PF₁F₂的面積，可得|PF₁|+|PF₂|=3c，再由雙曲線的定義，可得|PF₁|，|PF₂|，再由兩點的距離公式，解得a=2，將P的坐標代入雙曲線的方程，解方程可得b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：點P（3，$\frac{5}{2}$）為雙曲線上一點，
可得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•y_P=$\frac{1}{2}$•2c•$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$c，
△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為1，
可得S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•1=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+2c），
可得|PF₁|+|PF₂|=3c，
由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
解得|PF₁|=$\frac{3c+2a}{2}$，|PF₂|=$\frac{3c-2a}{2}$，
又|PF₁|=$\sqrt{（3+c）^{2}+\frac{25}{4}}$，|PF₂|=$\sqrt{（3-c）^{2}+\frac{25}{4}}$，
聯(lián)立化簡得a=2．
又因點點P（3，$\frac{5}{2}$）在雙曲線上，
所以$\frac{9}{4}$-$\frac{25}{4^{2}}$=1，解得b=$\sqrt{5}$，
故雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是定義法的運用和點滿足雙曲線的方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．