Question

13．已知函數(shù)f（x）=|lg（x+1）|，實數(shù)a，b滿足：$a＜b，且f（a）=f（{-\frac{b+1}{b+2}}）$，則f（8a+2b+11）取最小值時，a+b的值為$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題目給出的等式f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），代入函數(shù)解析式得到a、b的關(guān)系，從而得出f（8a+2b+11）取最小值時，a，b的值，即可得出結(jié)論．

解答 解：因為f（a）=f（-$\frac{b+1}{b+2}$），所以|lg（a+1）|=|lg（-$\frac{b+1}{b+2}$+1）|=|lg（$\frac{1}{b+2}$）|=|lg（b+2）|，
所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因為a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．
又由f（a）=|lg（a+1）|有意義知a+1＞0，從而0＜a+1＜b+1＜b+2，
于是0＜a+1＜1＜b+2．
所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）-1=2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$-1＞1．
從而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$]|=lg[2（b+2）+$\frac{8}{b+2}$]≥3lg2，
當且僅當b=0，a=-$\frac{1}{2}$時取等號．
∴a+b=$-\frac{1}{2}$．
故答案為-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了數(shù)學代換思想，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)第一個等式找出a和b之間的關(guān)系，然后把一個字母用另一個字母代替，借助于第二個等式求解．