Question

2．如圖，點P（x，y）（x＞0，y＞0）是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0．某同學用以下方法研究|OM|：延長F₂M交PF₁于點N，可知△PNF₂為等腰三角形，且M為F₂N的中點，得|OM|=$\frac{1}{2}$|NF₁|=…=a．類似地：點P（x，y）（x＞0，y＞0）是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的動點，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的焦點，M是∠F₁PF₂的平分線上一點，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，則|OM|的取值范圍是（0，c）

Answer 1

分析 利用M是∠F₁PF₂平分線上的一點，且F₂M⊥MP，判斷OM是三角形F₁F₂N的中位線，把OM用PF₁，PF₂表示，再利用橢圓的焦半徑公式，轉(zhuǎn)化為用橢圓上點的橫坐標表示，借助橢圓的范圍即可求出OM的范圍．

解答 解：如圖，延長F₂M，交PF₁與N點，
∵PM是∠F₁PF₂平分線，且$\overrightarrow{{F}_{2}M}$•$\overrightarrow{MP}$=0，
且F₂M⊥MP，
∴|PN|=|PF₂|，M為F₂N的中點，
連接OM，
∵O為F₁F₂中點，M為F₂N中點，
∴|OM|=$\frac{1}{2}$|F₁N|=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PN||=$\frac{1}{2}$||PF₁|-|PF₂||
∵在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）中，
設P點坐標為（x₀，y₀）
則|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=2e|x₀|=$\frac{2c}{a}$|x₀|，
即有|OM|=$\frac{c}{a}$|x₀|，
∵P點在橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵當|x₀|=a時，F(xiàn)₂M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a），
∴|OM|∈（0，c）．
故答案為：（0，c）．

點評 本題考查了橢圓的定義、標準方程及其性質(zhì)、三角形中位線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．