Question

4．有矩形鐵板，其長為6，寬為4，需從四個角上剪掉邊長為 x 的四個小正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方體盒子，要使容積最大，則 x 等于（　�。�

• A． $\frac{5-\sqrt{7}}{3}$
• B． $\frac{5+\sqrt{7}}{3}$
• C． $\frac{7-\sqrt{5}}{3}$
• D． $\frac{7+\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 長方體盒子的長為（6-2x），寬為（4-2x），高為x，容積V=（6-2x）（4-2x）x=4x³-20x²+24x，由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出要使容積最大的x值．

解答 解：長方體盒子的長為（6-2x），寬為（4-2x），高為x，
由于盒子的長寬高都為正數(shù)，所以6-2x＞0，4-2x＞0，x＞0，解得0＜x＜2
所以容積V=（6-2x）（4-2x）x=4x³-20x²+24x
要求V的最大值，求V的導數(shù)，并求導數(shù)的零點
V'=12x²-40x+24，令V'=0，解得x=$\frac{5±\sqrt{7}}{3}$，
由于0＜x＜2，所以取x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$，
由于V'是開口向上的二次函數(shù)，x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$是其左零點
所以當x＜$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$時，V'＞0；x＞$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$時，V'＜0，
即當x=$\frac{5-\sqrt{7}}{3}$時，V有極大值
∴要使容積最大，x=$\frac{5-\sqrt{3}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查正方形有邊長的求法，考查長方體的體積的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力、空間想象能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．