分析 (Ⅰ)由題可知,y12=x1+24,yx+2=2x1+2,yx−2=y1−4,整理即可求得橢圓E的方程;
(Ⅱ)由y0=12√4−x20,則梯形面積S=12(2+x0)y0=14√(4−x20)(2+x0)2,t=2+x0,2<t<4,S=14√4t3−t4,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得梯形ORMN面積的最大值.
解答 解:(Ⅰ)設(shè)AQ于BP交點(diǎn)C為(x,y),P(-2,y1),Q(x1,2),
由題可知,y12=x1+24,yx+2=2x1+2,yx−2=y1−4,(4分)
從而有−4yx−2=x+2y,整理得x24+y2=1,即為橢圓方程,
橢圓E的方程x24+y2=1;(6分)
(Ⅱ)R(2,0),設(shè)M(x0,y0),有y0=12√4−x20,
從而所求梯形面積S=12(2+x0)y0=14√(4−x20)(2+x0)2,(8分)
令t=2+x0,2<t<4,S=14√4t3−t4,
令u=4t3-t4,u'=12t2-4t3=4t2(3-t),(10分)
當(dāng)t∈(2,3)時,u=4t3-t4單調(diào)遞增,
當(dāng)t∈(3,4)時,u=4t3-t4單調(diào)遞減,則當(dāng)t=3時S取最大值3√34,
梯形ORMN面積的最大值3√34.(12分)
點(diǎn)評 本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及面積最值問題,考查函數(shù)單調(diào)性與橢圓的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
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A. | 2 | B. | 2√2-1 | C. | 5 | D. | √3-1 |
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A. | a>b>c | B. | a>c>b | C. | b>a>c | D. | b>c>a |
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