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20.如圖,在矩形ABCD中,|AB|=4,|AD|=2,O為AB中點(diǎn),P,Q分別是AD和CD上的點(diǎn),且滿足①|AP||AD|=|DQ||DC|,②直線AQ與BP的交點(diǎn)在橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上.
(Ⅰ)求橢圓E的方程;
(Ⅱ)設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn),M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn),作MN垂直于y軸,垂足為N,求梯形ORMN面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由題可知,y12=x1+24yx+2=2x1+2yx2=y14,整理即可求得橢圓E的方程;
(Ⅱ)由y0=124x20,則梯形面積S=122+x0y0=144x202+x02,t=2+x0,2<t<4,S=144t3t4,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得梯形ORMN面積的最大值.

解答 解:(Ⅰ)設(shè)AQ于BP交點(diǎn)C為(x,y),P(-2,y1),Q(x1,2),
由題可知,y12=x1+24yx+2=2x1+2yx2=y14,(4分)
從而有4yx2=x+2y,整理得x24+y2=1,即為橢圓方程,
橢圓E的方程x24+y2=1;(6分)
(Ⅱ)R(2,0),設(shè)M(x0,y0),有y0=124x20,
從而所求梯形面積S=122+x0y0=144x202+x02,(8分)
令t=2+x0,2<t<4,S=144t3t4
令u=4t3-t4,u'=12t2-4t3=4t2(3-t),(10分)
當(dāng)t∈(2,3)時,u=4t3-t4單調(diào)遞增,
當(dāng)t∈(3,4)時,u=4t3-t4單調(diào)遞減,則當(dāng)t=3時S取最大值334
梯形ORMN面積的最大值334.(12分)

點(diǎn)評 本小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及面積最值問題,考查函數(shù)單調(diào)性與橢圓的綜合應(yīng)用,考查學(xué)生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

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