Question

【題目】已知橢圓的長軸為，分別為橢圓C的左、右頂點，P是橢圓C上異于的動點，且面積的最大值為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點的直線l交橢圓C于兩點，D為橢圓上一點，O為坐標原點，且滿足，其中，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）易知，當P點為橢圓上頂點時的面積最大，求出的值，然后寫出方程即可；

（2）設直線方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得，

設，，由韋達定理得出和的值，再由，得點坐標，代入橢圓方程得到與的關系，繼而求出的范圍.

（1）因為橢圓的長軸為，所以，

，因為面積的最大值為，

所以當P點為橢圓上頂點時面積最大，，

解得，故所求的橢圓方程為；

（2）由題意可知該直線的斜率存在，設其方程為，

由得，

∴，得，

設，，，則，

由，得，

代入橢圓方程得，

由，得且，

所以，

∴.