Question

5．在△ABC中，已知 $sinA+cosA=\frac{1}{5}$．
（1）判斷△ABC是銳角還是鈍角三角形；
（2）求tanA．

Answer 1

分析 （1）把$sinA+cosA=\frac{1}{5}$兩邊平方，得1+2sinA•cosA=$\frac{1}{25}$，從而sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$．進(jìn)而A為鈍角，由此得到△ABC是鈍角三角形．
（2）由sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$，sin²A+cos²A=1，求出sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，由此能求出tanA．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$sinA+cosA=\frac{1}{5}$，
∴兩邊平方可得1+2sinA•cosA=$\frac{1}{25}$，
∴sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$．
∵0＜A＜π，∴A為鈍角，∴△ABC是鈍角三角形．
（2）∵sinA•cosA=-$\frac{12}{25}$，
又sin²A+cos²A=1，
∴sinA=$\frac{4}{5}$，cosA=-$\frac{3}{5}$，
∴tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=-$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形形狀的判斷，考查三角形的角的正切值的求法，考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角形性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．