Question

19．在棱錐P-ABC中，側棱PA、PB、PC兩兩垂直，Q為底面△ABC內一點，若點Q到三個側面的距離分別為3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$，則以線段PQ為直徑的球的體積為$\frac{500}{3}π$．

Answer 1

分析 根據題意，點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$的長方體，分析可知以PQ為直徑的球是它的外接球，再由長方體和其外接球的關系求解．

解答 解：根據題意：點Q到三個側面的垂線與側棱PA、PB、PC圍成一個棱長為3$\sqrt{2}$、4$\sqrt{2}$、5$\sqrt{2}$的長方體，
則其外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線．
2R=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}+（5\sqrt{2}）^{2}}=10$．
由球的體積公式得V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{500}{3}π$
故答案為：$\frac{500}{3}π$．

點評 本題主要考查空間幾何體的構造和組合體的基本關系，確定外接球的直徑即為PQ且為長方體的體對角線是關鍵．