Question

17．已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，若實數(shù)x滿足f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），則x的取值范圍是$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．

Answer 1

分析 利用函數(shù)是偶函數(shù)得到不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），等價為f（|log₂|x+1||）＜f（1），然后利用函數(shù)在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增即可得到不等式的解集．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增．
∴不等式f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$|x+1|）＜f（-1），等價為f（|log₂|x+1||）＜f（1），
即|log₂|x+1||＜1
∴-1＜log₂|x+1|＜1，
解得x的取值范圍是$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．
故答案為$（-3，-\frac{3}{2}）∪（-\frac{1}{2}，1）$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應用，利用函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)得到f（a）=f（|a|）是解決偶函數(shù)問題的關(guān)鍵．