Question

12．如圖，在幾何體中，四邊形ABCD為菱形，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O，四邊形DCEF為梯形，EF∥DC，F(xiàn)D=FB．
（Ⅰ）若DC=2EF，求證：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）求證：平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若AB=FB=2，AF=3，∠BCD=60°，求AF與平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中點(diǎn)G，連接OG，F(xiàn)G，證明OGFE為平行四邊形，可得OE∥FG，即可證明：OE∥平面ADF；
（Ⅱ）證明BD⊥平面AFC，即可證明：平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）做FH⊥AC于H，∠FAH為AF與平面ABCD所成角，即可求AF與平面ABCD所成角．

解答 （Ⅰ）證明：取AD的中點(diǎn)G，連接OG，F(xiàn)G．
∵對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)為O，
∴OG∥DC，OG=$\frac{1}{2}DC$，
∵EF∥DC，DC=2EF，
∴OG∥EF，OG=EF，
∴OGFE為平行四邊形，
∴OE∥FG，
∵FG?平面ADF，OE?平面ADF，
∴OE∥平面ADF；
（Ⅱ）證明：∵四邊形ABCD為菱形，
∴OC⊥BD，
∵FD=FB，O是BD的中點(diǎn)，
∴OF⊥BD，
∵OF∩OC=O，
∴BD⊥平面AFC，
∵?P?平面ABCD，
∴平面AFC⊥平面ABCD；
（Ⅲ）解：作FH⊥AC于H．
∵平面AFC⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
∴∠FAH為AF與平面ABCD所成角，
由題意，△BCD為正三角形，OA=$\sqrt{3}$，BD=AB=2，
∵FD=FB=2，
∴△FBD為正三角形，∴OF=$\sqrt{3}$．
△AOF中，由余弦定理可得cos∠AOF=$\frac{3+3-9}{2•\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=-$\frac{1}{2}$，
∴∠AOF=120°，
∴∠FAH=∠FAO=30°，
∴AF與平面ABCD所成角為30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行，面面垂直的證明，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．