Question

17．如圖，多面體ABCDEFG中，四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)A⊥平面ABCD，
FA∥BG∥DE，BG=$\frac{1}{4}$AF，且AF=AB
（1）證明：GC∥平面ADEF；
（2）若DE=$\frac{3}{4}$AF=3，求多面體ABCDEFG的體積．

Answer 1

分析 （1）運用面面平行的判定定理可得平面BCG∥平面ADEF，再由面面平行的性質定理，即可證得GC∥平面ADEF；
（2）過G作GH∥AB，交AF于H，連接DH，則多面體ABCDEFG的體積等于直三棱柱ADH-BCG的體積、三棱錐G-CDE的體積和四棱錐G-DEFH的體積之和．分別運用棱柱和棱錐的體積公式，計算即可得到所求體積．

解答 解：（1）證明：由FA∥BG，BC∥AD，BG∩BC=B，F(xiàn)A∩AD=A，
可得平面BCG∥平面ADEF，
由GC?平面BCG，
可得GC∥平面ADEF；
（2）過G作GH∥AB，交AF于H，連接DH，
由題意可得底面ABCD的邊長為4，BG=1，DE=3，AF=4，GH=4，F(xiàn)H=3，
則多面體ABCDEFG的體積等于直三棱柱ADH-BCG的體積、
三棱錐G-CDE的體積和四棱錐G-DEFH的體積之和．
由V_ADH-BCG=S_△BCG•AB=$\frac{1}{2}$×1×4×4=8，
V_G-CDE=$\frac{1}{3}$S_△CDE•GH=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×3×4×4=8，
V_G-DEFH=$\frac{1}{3}$S_{平行四邊形DEFH}•GH=$\frac{1}{3}$×3×4×4=16．
故多面體ABCDEFG的體積為8+8+16=32．

點評 本題考查線面平行的判定，注意運用面面平行的性質定理，考查多面體的體積求法，注意運用分割思想，考查棱柱和棱錐的體積公式，考查推理能力和空間想象能力，以及運算能力，屬于中檔題．