Question

7．將如圖一的矩形ABMD沿CD翻折后構(gòu)成一四棱錐M-ABCD（如圖二），若在四棱錐M-ABCD中有MA=$\sqrt{3}$．
（1）求證：AC⊥MD；
（2）求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導出MD⊥MA，MD⊥MC，從而MD⊥平面MAC，由此能證明AC⊥MD．
（2）取CD的中點F，連接MF，推導出AC⊥CD，從而AC⊥MD，進而AC⊥平面MCD，MF⊥平面ABCD，由此能求出四棱錐M-ABCD的體積．

解答 證明：（1）在△MAD中，$MA=\sqrt{3}$，MD=1，AD=2，
∴MA²+MD²=AD²，∴MD⊥MA，
又∵MD⊥MC，∴MD⊥平面MAC，
∴AC⊥MD．
解：（2）取CD的中點F，連接MF，
如圖二，在△ACD中，$CD=AC=\sqrt{2}$，AD=2，
∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
由（1）可知MD⊥平面MAC，
∴AC⊥MD，∴AC⊥平面MCD，∴AC⊥MF，
在△MCD中，MC=MD=1，∴MF⊥CD，$MF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴MF⊥平面ABCD，
∴${V_{M-ABCD}}=\frac{1}{3}{S_{四邊形ABCD}}×MF=\frac{1}{3}×[\frac{1}{2}×（1+2）×1]×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．