Question

6．已知圓O：x²+y²=1，一條直線l：y=kx+b（b＞0）與圓O相切，并與橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1交于不同的兩點A，B
（1）設b=f（k），求f（k）的解析式；
（2）若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由點到直線的距離公式求得b²=k²+1，將直線方程代入橢圓方程由△＞0，求得k的取值范圍，即可求得f（k）的表達式，
（2）由（1）可知，利用韋達定理及向量的數(shù)量積的坐標運算，即可求得k和b的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由y=kx+b（b＞0）與圓x²+y²=1相切，則$\frac{丨b丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即b²=k²+1，
由b＞0，∴b=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
則由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y整理得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0．
由△=16k²b²-4（2k²+1）（2b²-2）=8k²＞0，則k≠0，
∴f（k）=$\sqrt{{k}^{2}+1}$，k≠0．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（1）可知：x₁+x₂=-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$，
y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²=k²×$\frac{2^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+kb（-$\frac{4kb}{2{k}^{2}+1}$）+b²=$\frac{^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，

則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$+$\frac{^{2}-2{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{3^{2}-2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$，
由$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{2}{3}$，則$\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{2}{3}$，則k²=1，b²=2，
由b＞0，則b=$\sqrt{2}$，
∴直線l的方程y=x+$\sqrt{2}$或y=-x+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量數(shù)量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．