Question

14．已知圓C：x²+y²=9，點(diǎn)A（-5，0），在直線OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在定點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A），滿足：對于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{PB}{PA}$為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 先設(shè)存在，利用都有$\frac{PB}{PA}$為一常數(shù)這一條件，以及P在圓上，列出關(guān)系，利用恒成立，可以求得結(jié)果．

解答 解：假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B（t，0），使得$\frac{PB}{PA}$為常數(shù)λ，則PB²=λ²PA²，
∴（x-t）²+y²=λ²[（x+5）²+y²]，將y²=9-x²代入得，
x²-2xt+t²+9-x²=λ²（x²+10x+25+9-x²），
即2（5λ²+t）x+34λ²-t²-9=0對x∈[-3，3]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{λ}^{2}+t=0}\\{34{λ}^{2}-{t}^{2}-9=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=0.6}\\{t=-1.8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}\right.$（舍去），
所以存在點(diǎn)B（-1.8，0）對于圓C上任一點(diǎn)P，都有$\frac{PB}{PA}$為常數(shù)0.6．

點(diǎn)評 本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，探究性問題，考查計(jì)算能力．是中檔題．