Question

5．若不等式組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2＞0}\\{2{x}^{2}+（5+2k）x+5k＜0}\end{array}\right.$的整數(shù)解只有兩個，則k的取值范圍是[-4，-3）∪（4，5]．

Answer 1

分析 分別求出兩個不等式的解，根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)判斷端點位置，列不等式解出k的范圍．

解答 解：由x²-x-2＞0得x＜-1或x＞2，
解2x²+（5+2k）x+5k=0得x=-k或x=-$\frac{5}{2}$，
（1）當k$＞\frac{5}{2}$時，2x²+（5+2k）x+5k＜0的解為-k＜x＜-$\frac{5}{2}$，
∵不等式組有兩整數(shù)解，
∴-5≤-k＜-4，解得：4＜k≤5．
（2）當k$＜\frac{5}{2}$時，2x²+（5+2k）x+5k＜0的解為-$\frac{5}{2}＜x＜-k$．
∵不等式組有兩整數(shù)解，
∴3＜-k≤4，解得：-4≤k＜-3．
綜上，k的取值范圍是[-4，-3）∪（4，5]．
故答案為：[-4，-3）∪（4，5]．

點評 本題考查了不等式的解法，分類討論思想，屬于中檔題．