Question

11．如圖，設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三條邊分別為a，b，c，且角A，B，C成等差數(shù)列，a=2，線段AC的垂直平分線分別交線段AB，AC于D，E兩點(diǎn)．
（1）若△BCD的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求線段CD的長；
（2）若$CD=\sqrt{3}$，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，求出B的度數(shù)，再根據(jù)三角的面積公式求出BD，再根據(jù)余弦定理即可求出，
（2）若$CD=\sqrt{3}$，求出∠BDC，即可求角A的值．

解答 解：（1）三角形的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，
則有2B=A+C．又A+B+C=180°，
∴B=60°，
∵△BCD的面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，a=2
∴$\frac{1}{2}$BD•BC•sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴BD=$\frac{2}{3}$，
由余弦定理，CD²=BD²+BC²+2BD•BC•cos60°=$\frac{28}{9}$，
∴CD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$；
（2）△BCD中，$CD=\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}=\frac{2}{sin∠BDC}$，∴sin∠BDC=1，
∴∠BDC=90°，∴CD⊥AB，
∵∠A=∠B=$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查余弦定理三角形的面積公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．