Question

18．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有棱長(zhǎng)均為2，D、E分別是BC、BB₁中點(diǎn)．
（1）證明：C₁E⊥面ADC₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-A的余弦值；
（3）若線段AA₁上存在一點(diǎn)P，滿足直線CE和直線C₁P異面直線成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{5}$，求A₁P長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）在平面A₁B₁C₁中，過(guò)A₁作垂直于A₁C₁的直線為y軸，分別以A₁C₁、A₁A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積為0證明C₁E⊥面ADC₁內(nèi)的兩條相交直線得答案；
（2）分別求出平面A₁C₁D與平面AC₁D的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A₁-C₁D-A的余弦值；
（3）設(shè)P（0，0，m）（m＜2），由直線CE和直線C₁P異面直線成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{5}$列式求得m值即可求得A₁P長(zhǎng)．

解答 （1）證明：在平面A₁B₁C₁中，過(guò)A₁作垂直于A₁C₁的直線為y軸，分別以A₁C₁、A₁A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則C₁（2，0，0），C（2，0，2），D（$\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，2$），A（0，0，2），E（1，$\sqrt{3}$，1），
∴$\overrightarrow{CE}=（-1，\sqrt{3}，-1）$，$\overrightarrow{AD}=（\frac{3}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（2，0，-2）$．
∵$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2+0+2=0$，$\overrightarrow{CE}•\overrightarrow{AD}=-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}+0=0$，
∴CE⊥AC₁，CE⊥AD，又AD∩AC₁=A，
∴C₁E⊥面ADC₁；
（2）解：設(shè)平面A₁C₁D的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，平面AC₁D的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=2{x}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}D}=\frac{3}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取y₁=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，-\frac{\sqrt{3}}{4}）$．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=2{x}_{2}-2{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，取z₂=1，得$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，-\sqrt{3}，1）$．
∴cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{-\frac{5\sqrt{3}}{4}}{\sqrt{5}×\frac{\sqrt{19}}{4}}=-\frac{\sqrt{285}}{19}$．
∴二面角A₁-C₁D-A的余弦值為$\frac{\sqrt{285}}{19}$；
（3）解：設(shè)P（0，0，m）（m＜2），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}P}=（-2，0，m）$，
由cos＜$\overrightarrow{{C}_{1}P}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{2-m}{\sqrt{5}•\sqrt{4+{m}^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{5}$，解得m=$\frac{2}{3}$或m=6（舍）．
∴A₁P長(zhǎng)為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查空間角的求法，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．