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18.已知正三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長(zhǎng)均為2,D、E分別是BC、BB1中點(diǎn).
(1)證明:C1E⊥面ADC1;
(2)求二面角A1-C1D-A的余弦值;
(3)若線段AA1上存在一點(diǎn)P,滿足直線CE和直線C1P異面直線成角的余弦值是25,求A1P長(zhǎng).

分析 (1)在平面A1B1C1中,過(guò)A1作垂直于A1C1的直線為y軸,分別以A1C1、A1A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),再由向量數(shù)量積為0證明C1E⊥面ADC1內(nèi)的兩條相交直線得答案;
(2)分別求出平面A1C1D與平面AC1D的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A1-C1D-A的余弦值;
(3)設(shè)P(0,0,m)(m<2),由直線CE和直線C1P異面直線成角的余弦值是25列式求得m值即可求得A1P長(zhǎng).

解答 (1)證明:在平面A1B1C1中,過(guò)A1作垂直于A1C1的直線為y軸,分別以A1C1、A1A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則C1(2,0,0),C(2,0,2),D(32322),A(0,0,2),E(1,3,1),
CE=131AD=32320AC1=202
CEAC1=2+0+2=0,CEAD=32+32+0=0
∴CE⊥AC1,CE⊥AD,又AD∩AC1=A,
∴C1E⊥面ADC1;
(2)解:設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為n1=x1y1z1,平面AC1D的一個(gè)法向量為n2=x2y2z2
{n1A1C1=2x1=0n1A1D=32x1+32y1+2z1=0,取y1=1,得n1=0134
{n2AC1=2x22z2=0n2AD=32x2+32y2=0,取z2=1,得n2=131
∴cos<n1n2>=5345×194=28519
∴二面角A1-C1D-A的余弦值為28519
(3)解:設(shè)P(0,0,m)(m<2),
C1P=20m
由cos<C1PCE>=2m54+m2=25,解得m=23或m=6(舍).
∴A1P長(zhǎng)為23

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定,考查空間角的求法,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,是中檔題.

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