分析 (1)在平面A1B1C1中,過(guò)A1作垂直于A1C1的直線為y軸,分別以A1C1、A1A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出所用點(diǎn)的坐標(biāo),再由向量數(shù)量積為0證明C1E⊥面ADC1內(nèi)的兩條相交直線得答案;
(2)分別求出平面A1C1D與平面AC1D的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A1-C1D-A的余弦值;
(3)設(shè)P(0,0,m)(m<2),由直線CE和直線C1P異面直線成角的余弦值是√25列式求得m值即可求得A1P長(zhǎng).
解答 (1)證明:在平面A1B1C1中,過(guò)A1作垂直于A1C1的直線為y軸,分別以A1C1、A1A所在直線為x、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則C1(2,0,0),C(2,0,2),D(32,√32,2),A(0,0,2),E(1,√3,1),
∴→CE=(−1,√3,−1),→AD=(32,√32,0),→AC1=(2,0,−2).
∵→CE•→AC1=−2+0+2=0,→CE•→AD=−32+32+0=0,
∴CE⊥AC1,CE⊥AD,又AD∩AC1=A,
∴C1E⊥面ADC1;
(2)解:設(shè)平面A1C1D的一個(gè)法向量為→n1=(x1,y1,z1),平面AC1D的一個(gè)法向量為→n2=(x2,y2,z2).
由{→n1•→A1C1=2x1=0→n1•→A1D=32x1+√32y1+2z1=0,取y1=1,得→n1=(0,1,−√34).
由{→n2•→AC1=2x2−2z2=0→n2•→AD=32x2+√32y2=0,取z2=1,得→n2=(1,−√3,1).
∴cos<→n1,→n2>=−5√34√5×√194=−√28519.
∴二面角A1-C1D-A的余弦值為√28519;
(3)解:設(shè)P(0,0,m)(m<2),
∴→C1P=(−2,0,m),
由cos<→C1P,→CE>=2−m√5•√4+m2=√25,解得m=23或m=6(舍).
∴A1P長(zhǎng)為23.
點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定,考查空間角的求法,訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角,是中檔題.
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A. | √2 | B. | 2√33 | C. | 3√24 | D. | √3 |
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A. | 16項(xiàng) | B. | 17項(xiàng) | C. | 24項(xiàng) | D. | 50項(xiàng) |
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A. | 56 | B. | 23 | C. | 12 | D. | 13 |
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