Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足${S_n}={n^2}（{n∈{N^*}}）$，記數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，則T₂₀₁₇=（　�。�

• A． $\frac{4034}{4035}$
• B． $\frac{2017}{4035}$
• C． $\frac{2016}{2017}$
• D． $\frac{2017}{2018}$

Answer 1

分析 當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出通項(xiàng)公式；然后利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解即可．

解答 解：當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
當(dāng)n=1時(shí)適合上式，∴a_n=2n-1．（n∈N^*）．
數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$可得：$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．
則T₂₀₁₇=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{4035}）$=$\frac{2017}{4035}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了遞推式的意義、“裂項(xiàng)求和”、恒成立問題的轉(zhuǎn)化，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．