Question

14．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=mt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosa}\\{y=1+sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)）．
（Ⅰ）若直線l與圓C的相交弦長不小于$\sqrt{2}$，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若點A的坐標(biāo)為（2，0），動點P在圓C上，試求線段PA的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線、圓的普通方程，利用直線l與圓C的相交弦長不小于$\sqrt{2}$，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）P（cosα，1+sinα），Q（x，y），則x=$\frac{1}{2}$（cosα+2），y=$\frac{1}{2}$（1+sinα），消去α，整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=mt}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為y=mx，
圓C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosa}\\{y=1+sina}\end{array}\right.$（a為參數(shù)），普通方程為x²+（y-1）²=1．
圓心到直線l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，相交弦長=2$\sqrt{1-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$，
∴2$\sqrt{1-\frac{1}{{m}^{2}+1}}$≥$\sqrt{2}$，∴m≤-1或m≥1；
（Ⅱ）設(shè)P（cosα，1+sinα），Q（x，y），則x=$\frac{1}{2}$（cosα+2），y=$\frac{1}{2}$（1+sinα），
消去α，整理可得線段PA的中點Q的軌跡方程（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓位置關(guān)系的運用，考查軌跡方程，屬于中檔題．