Question

10．如圖所示，由直線x=a，x=a+1（a＞0），y=x²及x軸圍成的曲邊梯形的面積介于小矩形與大矩形的面積之間，即${a^2}＜\int_a^{a+1}{{x^2}dx＜{{（a+1）}^2}}$．類比之，若對(duì)?n∈N₊，不等式$\frac{k}{n+1}+\frac{k}{n+2}+…+\frac{k}{2n}＜1n4＜\frac{k}{n}+\frac{k}{n+1}+…+\frac{k}{2n-1}$恒成立，則實(shí)數(shù)k等于2．

Answer 1

分析 利用定義可得即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$相加求出即可．

解答 解：因?yàn)?\frac{k}{n}＜\int{\begin{array}{l}{n+1}\\ n\end{array}}\frac{k}{x}dx＜\frac{k}{n+1}$，
所以$\frac{k}{n}$＜klnx|${\;}_{n}^{n+1}$＜$\frac{k}{k+1}$，
即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$，
同理$\frac{k}{n+1}＜k[ln（n+2）-ln（n+1）]＜\frac{k}{n+2}$，…，$\frac{k}{2n-1}＜k[ln（2n）-ln（2n-1）]＜\frac{k}{2n}$，
累加得$\frac{k}{n+1}+\frac{k}{n+2}+…+\frac{k}{2n}＜k[ln（2n）-lnn）]$$＜\frac{k}{n}+\frac{k}{n+1}+…+\frac{k}{2n-1}$
所以ln4=k[ln（2n）-lnn）]，
所以ln4=kln2，
故k=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)定積分的定義得到即$\frac{k}{n}＜k[ln（n+1）-lnn]＜\frac{k}{n+1}$是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．